排序算法之——归并排序(两种方法及其优化)
2019-08-28

本文将围绕代码从多个方面分析归并算法,归并的操作很简单,稍加思考便能深刻理解。

1、算法思想:

要将一个数组排序,可以(递归地)将数组分成两半分别排序,然后将两边归并起来。归并算法最吸引人的地方是它能保证将任意长度为N的数组排序的时间与NlgN成正比。

主要缺点是需要与N成正比的额外空间。

 (示意图1)

 

2、原地归并的抽象方法

实现归并最直截了当的方法是将两个数组归并到第三个数组,实现的方法很简单,从左到右逐一比较两数组的第一位元素,将小的一个放入第三个数组(假设两数组已经有序),完成操作后第三个数组就是有序的。了解了思路,我们直接看代码。

1 public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) { 2 int i = lo, j = mid + 1; 3 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 4 aux[k] = a[k]; 5 } 6 for (int k = lo; k <= hi; k++) { 7 if (i > mid) { 8 a[k] = aux[j++]; 9 } else if (j > hi) {10 a[k] = aux[i++];11 } else if (less(aux[i], aux[j])) {12 a[k] = aux[i++];13 } else {14 a[k] = aux[j++];15 }16 }17 18 }

主要操作就是第二个for循环里的四个判断:

1、数组1走完(将数组2当前元素放入数组3)

2、数组2走完(将数组1当前元素放入数组3)

3、数组1当前元素小于数组2当前元素(将数组1当前元素放入数组3)

4、数组2当前元素小于等于数组1当前元素(将数组2当前元素放入数组3)

 

(示意图2)

 

 

3、自顶向下的归并排序

如果能将两个子数组排序,就能通过并归两个子数组来对整个数组排序,这一切是通过递归实现的,也叫递归归并。直接看代码:

 

1 public class Merge{ 2 private static Comparable[] aux; 3 public static void sort(Comparable[] a) { 4 aux = a.clone();// 一次性分配空间 5 sort(a,0, a.length - 1); 6 } 7 8 private static void sort(Comparable[] a,int lo, int hi) { 9 if (hi <= lo) {10 return;11 }12 int mid = lo + (hi - lo) / 2;13 sort(aux,a, lo, mid);//左半边排序14 sort(aux,a, mid + 1, hi);//右半边排序15 merge(a,aux,lo, mid, hi);//归并结果(参考原地归并的抽象方法)16 }17 }

 

 

 

示意图:

(示意图3)

上图只是merge方法的轨迹,sort方法也极为重要,要想理解就必须知道sort方法调用的轨迹(这里请读者自己先写出sort的轨迹再看下面的答案)

 

sort(a,0,7)

将左半部分排序

sort(a,0,3)

sort(a,0,1)

merge(a,0,0,1)

sort(a,2,3)

merge(a,2,2,3)

将右半部分排序

sort(a,4,7)

sort(a,4,5)

merge(a,4,4,5)

sort(a,6,7)

merge(a,6,6,7)

归并结果

merge(a,0,3,7)

 

4、自底向上的归并排序

我们已经知道,自顶向下采用的是递归的方法,而自底向上则是循序渐进得解决问题,采用了循环的方法。通过下图可以很容易看出两种方式的区别:

 

下面上代码:

1 public static void sort(Comparable[] a) {2 int n = a.length;3 aux = new Comparable[n];4 for (int sz = 1; sz < n; sz = sz + sz) {5 for (int lo = 0; lo < n - sz; lo += sz + sz) {6 merge(a, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + 2 * sz - 1, n - 1));// 最后一次并归的第二个子数组可能比第一个小此时lo+2*sz-1越界7 }8 }9 }

 

读者自行考虑自底向上方法的运行轨迹。

 

5、三项优化(代码在后面的代码演示中)

①对小规模子数组使用插入排序

用不同的方法处理小规模数组能改进大多递归算法的性能,在小数组上上,插入排序可能比并归排序更快。

②测试数组是否有序

根据归并排序的特点,每次归并的两个小数组都是有序的,当a[mid]<=a[mid+1]时我们可以跳过merge方法,这样并不影响排序的递归调用。

③不将元素复制到辅助数组

我们可以节省将数组复制到辅助数组的时间,这需要一些技巧。先克隆原数组到辅助数组,然后在之后的递归交换输入数组和辅助数组的角色(通过看代码更容易理解)

 

(画方框的为每次的输出数组)

 

 

6、代码演示(java):

1 public class Merge implements Comparable<Merge> {// 归并排序(优化前) 2 private static Comparable[] aux; 3 4 private static boolean less(Comparable v, Comparable w) { 5 return v.compareTo(w) < 0; 6 } 7 8 @Override 9 public int compareTo(Merge arg0) {10 // TODO Auto-generated method stub11 return 0;12 }13 14 public static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {// 原地归并的抽象方法15 int i = lo, j = mid + 1;16 for (int k = lo; k <= hi; k++) {17 aux[k] = a[k];18 }19 for (int k = lo; k <= hi; k++) {20 if (i > mid) {21 a[k] = aux[j++];22 } else if (j > hi) {23 a[k] = aux[i++];24 } else if (less(aux[j], aux[i])) {25 a[k] = aux[j++];26 } else {27 a[k] = aux[i++];28 }29 }30 }31 32 public static void sort(Comparable[] a) {33 aux = new Comparable[a.length];34 sort(a, 0, a.length - 1);35 }36 37 private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {38 /*39 * 自顶向下的并归排序 三个改进40 */41 if (hi <= lo) {42 return;43 }44 int mid = lo + (hi - lo) / 2;45 sort(a, lo, mid);46 sort(a, mid + 1, hi);47 merge(a, lo, mid, hi);48 }49 50 private static void exch(Comparable[] a, int j, int i) {51 // TODO Auto-generated method stub52 Comparable temp;53 temp = a[j];54 a[j] = a[i];55 a[i] = temp;56 }57 58 public static void main(String[] args) {59 Merge mg = new Merge();60 Comparable a[] = { 8, 1, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 1, 2, 3, 4, 8, 5, 2, 6, 4, 3, 8 };61 mg.sort(a);62 for (int i = 0; i < a.length; i++) {63 System.out.print(a[i] + " ");64 }65 }66 }

 

 

1 public class MergeX implements Comparable<Merge> {// 归并排序(优化后) 2 private static Comparable[] aux; 3 4 private static boolean less(Comparable v, Comparable w) { 5 return v.compareTo(w) < 0; 6 } 7 8 @Override 9 public int compareTo(Merge arg0) {10 // TODO Auto-generated method stub11 return 0;12 }13 14 public static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {// 原地归并的抽象方法15 int i = lo, j = mid + 1;16 // for (int k = lo; k <= hi; k++) {17 // aux[k] = a[k];18 // }19 for (int k = lo; k <= hi; k++) {20 if (i > mid) {21 a[k] = aux[j++];22 } else if (j > hi) {23 a[k] = aux[i++];24 } else if (less(aux[j], aux[i])) {25 a[k] = aux[j++];26 } else {27 a[k] = aux[i++];28 }29 }30 }31 32 public static void sort(Comparable[] a) {33 aux = a.clone();// 一次性分配空间34 sort(a, aux, 0, a.length - 1);35 }36 37 private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {38 /*39 * 自顶向下的并归排序 三个改进40 */41 // if (hi <= lo) {42 // return;43 // }44 int mid = lo + (hi - lo) / 2;45 if (hi - lo <= 7) {// 对小规模子数组使用插入排序46 //System.out.println("insert!");47 insertionSort(a, lo, hi);48 return;49 }50 sort(aux, a, lo, mid);51 sort(aux, a, mid + 1, hi);52 if (!less(aux[mid + 1], aux[mid])) {// 已经有序时跳过merge(a中lo到mid mid到hi分别都是有序的)53 System.arraycopy(aux, lo, a, lo, hi-lo+1);54 return;55 }56 merge(a, aux, lo, mid, hi);57 }58 59 private static void insertionSort(Comparable[] a, int lo, int hi) {60 for (int i = lo; i <= hi; i++)61 for (int j = i; j > lo && less(a[j], a[j - 1]); j--)62 exch(a, j, j - 1);63 }64 65 private static void exch(Comparable[] a, int j, int i) {66 // TODO Auto-generated method stub67 Comparable temp;68 temp = a[j];69 a[j] = a[i];70 a[i] = temp;71 }72 73 public static void main(String[] args) {74 MergeX mgx = new MergeX();75 Comparable a[] = { 8, 1, 6, 8, 4, 6, 9,7,1, 2, 3,4,8,5,2,6,4,3,8};76 mgx.sort(a);77 for (int i = 0; i < a.length; i++) {78 System.out.print(a[i] + " ");79 }80 }81 }